序言：作為思想的載體和知識的探索者，寫作是一種獨特的藝術，我們為您準備了不同風格的5篇初中數學重點難點，期待它們能激發您的靈感。

篇1

關鍵詞：初中數學；思維導圖；能力培養

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9132（2017）01-0107-02

DOI：10.16657/ki.issn1673-9132.2017.01.066

初中數學主要包括數與代數、空間與圖形、統計與概率三大部分，其中代數和幾何占絕大部分，內容涉及較多的概念、定義、定理、公式等，既抽象又龐雜，相對小學數學教學來說難度大幅提升。這就需要學生概念清晰、思路明了，能夠舉一反三、融會貫通。新課改要求：初中數學教學課堂要變為提升學生能力的平臺，不僅要培養學生掌握基礎知識，還要培養學生分析問題和解決問題的能力，能夠將數學知識轉變為數學技能[1]。在新課改指引下，我們積極開展了相關教學改革，其中的一個方法是引入“思維導圖”，將思維導圖運用于初中數學教學，解決數學教學實踐中的重點難點。

思維導圖（Mind Map）由英國心理學家托尼?巴贊于20世紀70年代提出，是一個從中心散發出來的自然結構，利用色彩、線條、標記、詞匯和圖象，把一長串枯燥的信息變成彩色的、容易記憶的、高度組織的圖，是一種與我們大腦處理事務的自然方式相吻合的思維工具[2，3]。思維導圖從一種筆記方法，逐漸應用于提高記憶力，再發展到引發創造性思維。目前，思維導圖已成功運用到教學實踐當中。我們也借鑒其成功教學的經驗，將其用于解決初中數學教學中的難點問題。

教學實踐中，我們發現教學難點集中在學生分析問題、解決問題的綜合能力培養方面。一般而言，對于獨立章節的概念、公式、定理等，學生基本能夠掌握，基礎習題也能夠有質量的完成。但是，學生綜合解決問題的能力就相對較差，知識點不能搬家，分章節的內容不能融會，前后不能貫通，思路不能有效展開，遇到“帶有轉彎”的難題，思維較為局限，思考不出解決辦法。教學過程中，我們運用了思維導圖，有針對性地幫助學生提高綜合分析并解決問題的能力。

首先，用思維導圖串聯基礎知識點。即讓學生將不同章節的獨立知識點，用思維導圖呈現出來。先從小范圍開始，做三角形相關的串聯，做圓相關的串聯，做平方計算相關的串聯，等等。小范圍的思維導圖重點訓練學生掌握思維導圖的制作要點，分清主次，設計主干、分支，逐步分層展開，并注意可能的交叉點。教師可以讓學生分成小組，彼此幫助，相互討論，相互學習。在掌握了思維導圖制作的關鍵和技巧之后，教師再讓學生試著把相關內容聯系起來，做一個較大范圍的思維導圖。比如把三角形和圓合并起來，把平方和開方合并起來等，這樣做成的思維導圖，知識點一目了然，公式、定理有序地聯系起來，不同章節的內容有效地貫穿融會。學生拿著自己做成的總結圖，能夠逐步建立起綜合性思維，在思維導圖的分支和層次中，分析問題的思路非常清晰，能夠找到解決問題的有效方法。

其次，用思維導圖歸類題型。掌握不同的題型，是有效分析解決問題的方法之一。用思維導圖對不同題型加以歸類，能夠有效提高對各種題型的熟悉程度。比如關于“三角形”的題目，可以分為求證角和角的關系、線段和線段的關系、角和線的關系等；比如整式的乘法，包括單項式、多項式、冪和積等，再逐步進行分層，分析可能出現的交叉點。隨著學習的深入，這樣的一張圖可以逐步分層、逐步細化、逐步增補，等到期末復習時能夠事半功倍。

再次，用思維導圖記錄解題思路。解題是分析問題、解決問題綜合能力的重要體現，解題思路的訓練往往是教學的難點。學生掌握了基本的知識之后，距離綜合運用還有一段距離，這段距離的縮短，可以采用思維導圖來輔助完成。學生在完成難度相對較低的題目時，把思考經過采用思維導圖形式呈現出來。在完成難度相對較高的題目時，如果思路不清、解題卡殼，可以把之前積累的同類的、難度較低的題目解題過程拿來參考，結合學習過程中知識點串聯、題型分類等思維導圖，會得到一定的啟示，這樣學生對于難度較高題目的思考會更加深入和完善。同時，再配合同學之間的討論、教師的啟發，學生的思路逐步清晰，對該類問題的認識更加透徹。以此就能夠逐步訓練學生分析問題的思路，提高解決問題的能力。

最后，用思維導圖記錄錯題。數學學習過程中，一定會有錯題產生。錯題產生后，單純用錯題本記錄錯題，確實也能起到一定的作用，但是如果引入思維導圖，加強對錯題的分析，會從另外一個方面幫助學生提高分析能力。用思維導圖，一方面可以歸納錯題的類型，發現自己出錯的高頻部分，可以有針對性地查漏補缺；另一方面可以厘清解題的思路，找出錯題出錯究竟在哪個具體的點上，利用思維導圖分析不同題目的出錯是否有交叉和重復，尋找不同錯誤的共同“致錯”思維，從根本上糾正錯誤。

“千言萬語不及一張圖”，運用思維導圖解決初中數學教學中的難點，以期將思維導圖作為輔助工具，教師加以引導，學生加強思考，提高形象記憶，培養發散思維，能夠運用知識解決問題，解決教學中的難點。

初中階段，數學的教與學難度增加。因此，數學教師應積極采取教學改革、探索教學方法，借鑒并融合先進教學理念，幫助學生掌握數學基礎知識和基本技能，提高教學質量。我們在教學實踐中，可將“思維導圖”的方法引入初中數學教學，一方面通過形象思考串聯起數學較為枯燥的知識點，另一方面加強培養初中學生的邏輯思維能力，更重要的是，突出了以學生為本的教學方式，初步形成了一種數學教學方法。

參考文獻：

[1] 張治棟.新課改背景下如何培養初中學生的數學能力[J].西部素質教育，2016（1）.

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一、把握好重點和難點是突出重點、突破難點的前提

教師要想在教學中做到突出重點、突破難點，就是要深鉆教材，只有教師在對教材非常熟悉的情況下，才能從知識結構上，抓住各章節和各節課的重點和難點。在實際的教學中，教師必須根據學生實際的認知水平，并考慮到不同學生認知結構的差異，合理定位好教學重點和教學難點。教師課前的精心準備、準確定位，就為教學時突出重點和突破難點提供了有利前提。

二、找準知識的生長點是突出重點、突破難點的條件

小學教學是一門系統性很強的學科。數學教學就是要借助于數學的邏輯結構，引導學生由舊入新，組織學生積極的遷移，促成學生由已知到未知的推理，認識簡單與復雜問題的聯系，不斷完善認知結構，提高數學技能。因此，新知識的形成都有其固定的知識生長點，找準知識的生長點，才能突出重點、突破難點。我們可依據以下3點找準知識的生長點：1.有的新知識與某些舊知識屬同類或相似，要突出“共同點”，進而突破重難點；2.有的新知識由兩個或兩個以上就知識組合而成，要突出“連接點”，進而突破重難點；.有的新知識由某些舊知識發展而來的，要突出“演變點”，進而突破重難點。如在教學蘇教版小學數學六年級上冊“解決問題的策略――替換”時，雖然每個策略都有其適用的題目，但是在形成新策略的過程中要綜合應用已有的策略，如學習替換與假設策略時要用到畫圖、列表等策略，且綜合法與分析法貫穿始終。所以這一單元的教學，是數學認知結構改造的過程，要突出“演變點”，進而突破重難點。

三、采用合適的教學方式是突出重點、突破難點的關鍵

《全日制義務教育數學課程標準（修改稿）》指出：教師的教學應該以學生的認知發展水平和已有的經驗為基礎，面向全體學生，注重啟發式和因材施教。教師要發揮主導作用，處理好講授與自主學習的關系，通過有效的措施，引導學生獨立思考、主動探索、合作交流，使學生理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，得到必要的數學思維訓練，獲得基本的數學活動經驗。認真閱讀這段話，我們知道：根據學生實際，采用合適的教學方式是突出重點、突破難點的關鍵。如教學“解決問題的策略”時，合適的教學方法是獨立思考――嘗試解題――合作交流――比較歸納――反思小結――形成經驗。這樣的教學方式，能使學生在經歷問題解決的過程中，感悟解題策略，形成解題策略，體會策略價值，自覺應用策略解決問題，真正做到突出重點和突破難點。

四、積累基本的教學經驗是突出重點、突破難點的基礎

基本數學經驗是指在數學目標的指引下，通過對具體事物進行實際操作、考察和思考，從感性向理性飛躍時所形成的認識。數學經驗源于日常生活經驗，高于日常經驗。小學數學活動可分為4類：直接來源于生活的數學活動；間接來源于生活的數學活動；為數學學習設計的純粹數學活動；意境連接性的數學活動。“解決問題的策略”教學屬于間接來源于生活的數學活動，因此教師要設計有層次的數學學習活動，引導學生經歷解題過程，進行體驗和反思，把解決問題中的體驗加以整理，對獲得的數學經驗進行反思，對學生的認知過程再認知，從而掌握解題策略，感受策略價值，積累數學經驗，有效突破數學教學重、難點。以五年級上冊“解決問題的策略――列舉”為例，教學例1要讓學生經歷無序到有序的過程，學會用列表的方法有條理地列舉；教學例2要引導學生用列舉的策略解決問題，要不重復、不遺漏地進行思考，感受用列表、打“√”法列舉的簡潔、有序；教學例3要啟發學生從不同的角度分析問題，進一步感受列舉策略的特點。教學每道例題，都要引導學生回顧和反思，積累教學經驗，樹立主動用策略解決問題的意識。

五、信息技術的合理應用是突出重點、突破難點的保障

現代教育技術的發展對數學教育的價值、目標、內容以及學與教的方式產生了重大的影響。學生對現代教育技術的濃厚興趣，能夠調動學生的學習積極性，它直觀性強的特點就決定著現代信息技術已經成為學生學習數學和解決問題的強有力工具。因此，在突出教學重點和突破教學難點的過程中，要充分發揮現代信息技術的優勢，化動為靜、化隱為顯、化難為易、化抽象為直觀，并通過與傳統技術的聯合與互補，有效促進教學重難點的突破。如教學六年級上冊“解決問題的策略――替換、假設”時，利用信息技術，通過畫圖直觀演示用替換和假設法解決問題的過程，使學生會用這兩種策略分析數量關系，保證了重難點的順利突破。

總之，教師要做一個有心人，利用一切可以利用的教學條件，調動學生的積極性，課堂教學做到結構清楚、教法靈活，有效地突出重點、突破難點，提高教學效率。

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一、利用生活實例理解難點

數學源于生活，根值于生活。數學教學要聯系生活和學生已有知識點，創設多樣化的教學情境，是突破教學中難點問題的關鍵。

案例1：浙教八上7.2認識函數教學。本節教學中難點是：函數概念的建立.為幫助學生突破此難點，我在教學中引入以下三個情景。

情景1：上虞到杭州的路程為90千米，老師開車的速度為v千米/小時，用的時間為t小時。你能用含v的代數式表示t嗎？

情景2：紹興古城旅游門票優惠價130元/張，如果設門票張數為a張，應付金額為b元，請填寫下表：

（2）啟發學生找出問題中涉及的各種量，回顧路程、速度與時間三個量之間的基本關系：路程=速度×時間。

（3）利用問題中數量關系語，尋找等量關系。如：“相遇前乙比甲多行駛了90千米”即為等量關系：“相遇前甲行駛的路程+90=相遇前乙行駛的路程”，“相遇后經1時乙到達A地”即為等量關系：“相遇后乙行駛的路程=相遇前甲行駛的路程”。

列方程解應用題的難點是如何根據題意尋找等量關系列出方程，教學時要突破這一難點，往往就要根據題意畫出相應的示意圖。這里隱含著數形結合的思想方法，不論是行程問題、追及問題，還是工作量問題、濃度問題等，只有依據題意畫出相應的示意圖，才能幫助學生迅速找出等量關系列出方程，從而突破教學中難點。

四、利用多媒體教學解剖難點

多媒體形象具體，動靜結合，聲色兼備，并且具有一定的可控性和交互性，如能適當應用，可使抽象的概念具體化、形象化，尤其多媒體能進行動態的演示，彌補了傳統教學方式在直觀感、立體感和動態感等方面的不足，利用這個特點可處理其他教學方法難以處理的問題，并能引起學生的興趣，從而增強學生的直觀印象，這就為我們化解教學中難點，提高課堂效率和教學效果提供了一種現代化的教學手段。

案例5 浙教版七上6.1幾何圖形的教學.本節教學難點是學生對點、線、面、體關系的理解。我在教學時用動畫軟件制作了點動成線、線動成面的動畫展示，再利用《幾何畫板》中的作圖功能制作出圓柱、圓錐等幾何圖形，從中截取出矩形、直角三角形沿著規定路線旋轉，使學生直觀地把觀察到運動的結果是圓柱、圓錐等立體圖形。幫助學生理解“面動成體”的結論。

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（1）培養學生正確的觀察色彩的能力。我認為水彩畫教學，一開始就要較全面地講清色彩知識，以便學生有一個完整的色彩概念，其中更為重要的一點就是解決“固有色彩觀念”的問題。人產生固有色彩觀念的主要原因，我認為一方面是對光與色的關系不了解，另一方面是欣賞習慣問題?？朔逃猩视^念的辦法，可以從原理上講明物體色彩產生于光與物體的吸收、反射的原理，使學生懂得物體的固有色雖然存在，但它在不同的空間當中，是完全不相同的；物體的固有色因素，并不是物體色彩的唯一因素，物體的色彩往往包含著構思、意圖、氣氛和情調的需要。固有色因素是次要的，強調固有色對于表現一定的氣氛和效果是有害的。為了克服“固有色觀念”，在教學中要有意識的引導學生觀察和比較處于不同光照和處于不同空間中的物象色彩的變化，比如：樹葉的固有色是綠的，不僅陰雨、晴天不同，而且早、中、晚也不同，受光照能變為藍紫。作畫時必須要求學生畫出色彩的差別，畫出物象之間相互關系和色彩關系。

（2）過好“水關”。水彩畫是以水調和透明的顏料，運用水與色的相互滲化的方法和層加的方法來塑造物象的空間效果。作畫時用水多少，加色時畫面干濕程度、用色的濃度以及用筆的快慢，筆上的水分等都十分講究。所以學習掌握用水是水彩畫技法的基本要求，過好“水關”是學習水彩畫的一個難點。

有人說，用水是熟能生巧，用水的辦法只能意會不能言傳，這話雖不能算錯，但我覺得有些共同的一般用水規律，是可讓學生借鑒的。就作畫時用水多少，我歸納了四點：第一遍用水多，第二遍用水少；大面積用水多，小面積用水少；濕接用水多，濕加用水少；室外作畫用水多，室內作畫用水少。

用水和用筆是分不開的，無論是濕接、濕加都和筆上的水分和用筆的方法有關。關于運筆的方法我歸納成“濕”、“濃”、“快”、“擺”四個字：

濕：就是加色時要趁濕加，不能在畫面半干時加，以免畫面干濕不均，造成水跡。

濃：就是濕加時，要能在畫面半干時加，以免畫面干濕不均，造成水跡。但濃到什么程度，要看形的具體要求，色愈濃則形愈具體。

快：是指濕加時，運筆要快，筆不能停留在畫面上，以免把色滲開，達不到造型的目的。

擺：就是筆要根據對象結構的體面關系，一筆筆擺上去，或濕加或層加，盡量做到落筆不收。

為了達到水彩畫的一氣呵成的氣勢和一次著色的清晰透明的感覺，它的畫法往往是從局部入手，盡可能要求一次完成。所以水彩畫是很重視作畫步驟的。我在教學中總是要求把輪廓大的先較為詳細地考慮好步驟，然后有條不紊的畫。作畫步驟一般是：先遠后近（或由近及遠）、先大面積，后小面積，先淡后濃，先亮后暗。

另外水彩畫有干、濕兩種畫法，濕畫雖然能體現水彩的“韻味”，但往往需要用干畫去進一步充實，把物體的結構畫得更具體些。掌握濕畫和干畫的關系，實際上也是個用水問題。一幅畫中如何處理干濕畫法呢？一般是：遠處濕畫，近處干畫；第一遍濕畫，第二遍干畫；暗部濕畫，亮部干畫；虛處濕畫，實處干畫；濕加要濃，干加要薄。

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【關鍵詞】探索突破難點方法

通過學習數學培養學生的抽象思維能力和邏輯思維能力，是初中數學教師擔負的基礎教學的重要任務。由于初中生的年齡特征，他們受生活經驗和數學學習經驗的限制，思維能力還處于淺顯的初級階段。因此，根據學生的已有知識背景和認知特點，結合授課內容，數學教師藝術地設計突破教學難點的方法，是數學教師應該具有的意識和能力，也是數學教師應該潛心研究的課題。通過自己多年的教學實踐，總結了一些突破初中數學難點的方法措施，現談一下自己的具體做法。

一、揭示概念的本質特征

記住了概念，并不等于理解了概念，理解了概念也不等于能熟練應用概念。數學教師在進行概念教學時，不但要把概念講清講透徹，還要設計一些例題、練習題，通過學生的練習、探索、合作交流、辨析，以及教師的講解，進一步揭示概念的本質特征。從而達到學生熟練應用概念的目的。初一數學中的平方差公式內容，是教學的一個難點，也是考試的一個考點。學生初學公式后，還以為這個公式簡單，但具體做起題來，卻常常出錯。雖說是平方差公式，但是哪一個數的平方減去哪一個數的平方，學生并沒有深究，他們從公式的表面來看，好像是兩個二項式中的第一個數的平方減去第二個數的平方。例如這道題很多學生就是這樣做的：（—x—y）（x—y）=x2— y2.通過這道題的練習，暴露出了學生對公式的本質特征并沒有掌握。帶著問題，引導學生研究公式（a+b（a—b）=a2—b2后發現，公式中前后有一個相同項，又有一個互為相反數的項，它的結果實際等于相同項的平方，減去互為相反數的項的平方。學生理解了公式的本質特征后，做這類題就得心應手了。學生也知道了凡是符合了前后有一個相同項，又有一個互為相反數的項的兩個二項式的積就可應用平方差公式計算，否則就不就不能應用平方差公式。這樣學生做能否用平方差公式計算的辨析題，只要稍加觀察，就可選出正確的答案。

二、對比方法的應用

沒有比較就沒有鑒別。在數學教學中，比較方法的應用，可促進學生對概念內涵的真正理解；可起到化難為易，化繁為簡的作用。例如二次根式運算中，對兩個公式 （a ）2=a （a≥0） （ a）2 = |a| ， 學生知道兩個公式不一樣，但卻不知道不一樣在哪里，通過分析，學生知道了：（1）、 是求二次根式的平方， 是求一個數的二次冪的算術平方根。（2）、 中a是非負數 中a是任意實數。（3）從表面看，兩個的運算順序 是先開方在平方， 是先平方再開方。（4） 的結果直接等于被開方數就行了， 要先等于被開方數的底數的絕對值，然后再根據絕對值得意義，求出最后的結果。為了加深印象，師生共同給 總結了一個口訣：平方再開方，先用絕對值框。框起來再根據絕對值的性質求出結果。教師還給它做了個形象比喻，這個底數就猶如一個嫌疑人，先關起來，再仔細審查，且不可馬虎造成錯案。比喻引來學生的會意微笑。微笑是一種緊張后的放松，是一種迷惑后的明白，是一種難點破解后的釋放。也是師生付出心血的回報。

三、數形結合的形象理解

數學中的數形結合，可以培養學生形象思維，抽象思維、邏輯思維能力。而有關數形結合概念的理解和記憶，用數形結合的方法，也可收到意想不到的良好效果。在教學關于一次函數的增減性，及其圖像的位置關系的概念的理解、記憶時，如果學生按照書上的概念的敘述，去理解、去記憶，完全沒有問題。但是應用概念去解決實際問題時，卻又感到十分的困難和麻煩。通過教師的引導，師生共同探索發現：當k>0時，圖像從左至右如同人走路一樣，走的是上坡路，當k

四、幾何證題方法的簡單引入